«Параллель Тучкова». Часть вторая, в которой следствие ведет геометрия

В предыдущей части нашего детектива мы остановились на констатации факта: простое изучение литературных источников не позволяет сделать окончательный выбор в пользу того, какую величину для главной параллели военно-топографической карты следует считать верной: 52° или 55°. Однако если некоторая величина проекции нам неизвестна, может быть есть способ ее рассчитать из имеющихся данных?

Но прежде чем приступать к обсуждению расчетов, давайте вспомним, что нам известно о проекции Бонна [1] и что нам пригодится в дальнейших рассуждениях. Дуги параллелей в этой проекции изображаются в виде концентрических окружностей. Центральный меридиан является прямой вертикальной линией, проходящей через общий для параллелей центр. Отрезки на центральном меридиане, которые отсекают параллели, проведенные через равные интервалы широт, также в точности равны друг другу (если мы рассматриваем построение на сфере) и «почти равны» [2], если мы рассматриваем сфероид. Важно, что вдоль центрального меридиана длины этих отрезков на проекции в точности равны длинам дуг самого центрального меридиана.

Остальные дуги меридианов – сложные кривые, направленные основной выпуклостью наружу от центрального меридиана, что и обусловливает красивые «сердцевидные» или «шлемовидные» общие очертания проекции. Эта выпуклость происходит от того, что в отличие от обычных конических проекций, меридианы отсекают на пересекаемых ими параллелях дуги, также в точности равные дугам параллелей на поверхности сферы или сфероида. Поэтому проекция Бонна сохраняет масштаб также и по параллелям и является равновеликой. Впрочем, именно поэтому она не сохраняет углы и, следовательно, приводит к заметному искажению форм фигур, особенно вдали от центра проекции.

В свою очередь, центр проекции – это точка пересечения главного меридиана с той окружностью, которая выбирается главной параллелью и широту которой нам и предстоит определить. Забегая немного вперед, скажу, что именно выбор главной параллели определяет общую форму проекции (от «сердцевидной» к «шлемовидной»), но подробное обсуждение этого вопроса нам сейчас не понадобится.

Общий вид одного из вариантов проекции приведен на рисунке ниже [3]:

А нам теперь пора приступить к решению задачи и, для начала, попробовать определить, что же такого мы можем измерить на карте, чтобы определить широту главной параллели.

НЕМНОГО ГЕОМЕТРИИ (ПОЧТИ ШКОЛЬНОЙ)

Давайте выпишем из [4] основные формулы проекции.

ρ = R*(ctgφ(1) + φ(1) - φ)  (1)

E = R*(λ - λ(0))*cosφ/ρ  (2)

x = ρ*sinE  (3)

y = R*ctgφ(1) - ρ*cosE  (4)

Здесь φ(1) – широта главной параллели, φ – текущая широта выбранной точки, λ(0) – долгота центрального меридиана, λ – текущая долгота выбранной точки. Все эти величины берутся в радианах.

Далее, x и y – прямоугольные координаты выбранной точки, а R – радиус земной сферы. Для простоты будем вести все дальнейшие рассуждения для сферы, а не для сфероида. Как мы скоро увидим, это упрощение никак не помешает расчетам.

Рисунок из учебника В.В.Каврайского с общим построением проекции я уже приводил в предыдущей части; приведу его еще раз в увеличенном виде. Нужно только иметь в виду, что формулы у Каврайского отличаются от приведенных в [4] направлением осей x и y. Я буду в дальнейшем использовать систему [4], где ось x направлена по горизонтали, а ось y – по вертикали [5].

Величина ρ – это радиус окружности на проекции для выбранной широты φ. Было бы очень заманчиво использовать для определения нашей искомой главной параллели φ(1) (на рисунке Каврайского она обозначена φ(0)) эту величину ρ, поскольку она зависит только от текущей широты, широты главной параллели и наперед заданного радиуса земной сферы по формуле (1). Однако это невозможно, поскольку общий центр всех окружностей-параллелей (точка C на рисунке) лежит далеко за пределами любого листа из всего покрытия карт, и найти его простыми геометрическими построениями на листе карты вряд ли получится.

Тогда посмотрим на величину Е. У Каврайского эта величина называется δ и определяет угол ACM на рисунке выше: угол между центральным меридианом и отрезком, проведенным из общего центра C в точку на окружности (параллели), определенную выбранной величиной λ – долготы точки на местности. Тем самым, точка, определяемая широтой φ и долготой λ однозначно определяется и на проекции. Однако и здесь есть непреодолимая на первый взгляд сложность. Если направление главного меридиана мы можем определить на любом листе карты (оно попросту совпадает с вертикальными сторонами листа), то вторая сторона угла, отрезок CM, так просто не определяется. Этот отрезок не совпадает с линией меридиана PM, а отклоняется от него тем сильнее, чем дальше от центрального меридиана находится лист карты с точкой M, что хорошо видно на рисунке выше. Других же направлений, кроме линий рамки карты, окружностей-параллелей и сложных кривых-меридианов на карте нет.

Задача выглядит невыполнимой, однако не будем торопиться. Попробуем провести некоторые преобразования, включающие величину Е ( или δ – по Каврайскому).

Для простоты положим  λ(0) = 0 (как это и принимается для проекции карт-трехверсток) и возьмем производные x и y из формул (3) и (4) по λ при постоянной φ:

dx/dλ = ρ*cosE*(dE/dλ) = ρ*cosE*(R*cosφ)/ρ  (5)

dy/dλ = -ρ*(-sinE)*(dE/dλ) = ρ*sinE*(R*cosφ)/ρ (6)

Тогда

dy/dx = (dy/dλ):(dx/dλ) = sinE/cosE = tgE  (7)

Но с другой стороны, dy/dx = tgα, где α – угол наклона касательной к графику y = f(x) при φ = const в точке λ, то есть к выбранной параллели φ при данной долготе λ. Следовательно, и E имеет геометрический смысл этого угла наклона.

Перенесем теперь то, что у нас получилось и что потребуется в дальнейшем, на отдельный рисунок. Точка M на рисунке и есть та точка с выбранной широтой φ и долготой λ, в которой нам нужно теперь определить угол наклона касательной к параллели. В отличие от угла δ Каврайского мы это сможем сделать, не выходя за границы листа карты.

Для нахождения угла наклона этой касательной нам нет нужды стоить касательную проведением перпендикуляра h к отрезку CM, положение которого неизвестно по причинам, изложенным выше. У нас даже нет необходимости строить саму касательную h. Достаточно отложить от точки M в обе стороны две равные дуги (MM1 и MM2) и соединить их хордой. По известному свойству такая хорда будет параллельна касательной и следовательно, иметь тот же угол наклона, который и следует измерить. А можно поступить еще проще. Соединив хордой две точки пересечения параллели обозначенными на карте меридианами (скажем, те же точки M1 и M2) и зная их долготы λ1 и λ2, можно использовать угол наклона этой хорды для расчетов в точке λ, которая по построению лежит ровно на середине дуги M1M2, а по изложенному выше свойству проекции, имеет и долготу, равную среднему значению из двух крайних долгот: λ = (λ1 + λ2)/2 [6].

СНАЧАЛА ИЗМЕРЯЕМ...

Теперь, имея под рукой подходящую теоретическую основу методики, я мог, наконец, заняться измерениями. Стоит сразу сказать, что в 2011 году единственной доступной мне программой, куда я мог загрузить изображение карты, сделать необходимые построения хорд и померить их углы наклона, была программа Global Mapper. О связанных с ней возможных недостатках я скажу несколько слов в конце этой части, здесь лишь коротко опишу саму методику.

Полностью текст статьи вы можете прочитать, посетив страницу автора на Boosty.