Загадка «проекции Мюфлинга»: работа над ошибками

В 2016 году в журнале "Россия 4D" вышла статья "Загадка проекции Мюфлинга".  В ней был предложен оригинальный метод перепроецирования крупномасштабных карт первой трети XX века, составленных в неудобной для современного использования многогранной проекции в более подходящую проекцию.

Коротко напомню, о чем шла речь.

Листы карт в проекции Мюфлинга представляют собой симметричные трапеции, ограниченные по рамке параллелями и меридианами, взятыми с равным шагом и изображенными прямыми линиями. Тем самым они представляют криволинейные трапеции на земной поверхности, преобразованные в трапеции на плоскости проецированием. Однако хорошо известно, что такое представление не позволяет отобразить земную поверхность на плоскости без разрывов между листами. В то же время, листы крупномасштабных карт (например, двухверстного масштаба) имеют крайне незначительный наклон боковых сторон трапеции (обусловленный схождением меридианов к северу) и представляют собой "почти прямоугольник". Поэтому и было предложено перепроецировать эти карты одновременно с привязкой в подходящую прямоугольную (цилиндрическую) проекцию, которая уже позволит собрать листы карт в единое покрытие без разрывов. Современные ГИС легко справляются с такой задачей.

В качестве такой проекции было предложено использовать проекцию Меркатора. Однако здесь есть один подводный камень, который я упустил в своих рассуждениях.

В самом деле, отклонение трапеции карты от "честной прямоугольности" составляет всего лишь пару миллиметров, поэтому представляется довольно простой задачей слегка подтянув отсканированный растр, подогнать ее к прямоугольнику. Но тут-то и таится допущенный пробел в рассуждениях: нам надо рассматривать растяжение трапеции в прямоугольник не только по горизонтали (верхней стороны), но и по вертикали (всей трапеции как целого)! И дело здесь не в величине самого растяжения (я подробней эту величину рассмотрю ниже), а в том, что такая операция не учитывает одного важнейшего свойства меркаторской проекции. Рассмотрим подробней, о чем идет речь.

Хорошо известно, что сетка параллелей и меридианов в проекции Меркатора вытягивается в вертикальном направлении при движении от экватора к полюсам. То есть, при равной ширине, любой прямоугольник, ограниченный фиксированным шагом широты и долготы становится более вытянутым по вертикали. Менее очевидным, но вполне объективным, является тот факт, что такое поведение характерно для любого участка заданного прямоугольника: масштабный коэффициент по вертикали нарастает при движении с юга на север (в Северном полушарии). Еще менее очевидно, что точно так же нарастает и масштабный коэффициент по горизонтали. Такие "нарастания" по горизонтали и вертикали в точности равны друг другу по самому построению проекции, что и приводит к тому, что проекция сохраняет величины углов (а значит, и форму объектов). Схематично это изображено на рисунке ниже.

Этот эффект можно представить и немного по-другому: любой участок, в том числе и любой заданный четырехугольник между заданными границами широт и долгот проекция Меркатора растягивает в прямоугольник не равномерно, а тем сильнее, чем ближе к полюсам находятся точки участка.

А вот для проекции Мюфлинга это не так. В цитированной в предыдущей статье брошюре¹ рассчитаны локальные изменения масштабов (горизонтального и вертикального) для листов карты масштаба в 1 см 2 км. Подробнее математический аппарат статьи мы рассмотрим немного ниже, здесь лишь отметим, что масштабный коэффициент на всех четырех сторонах трапеции в точности равен единице, а ближе к центру трапеции немного уменьшается².

Из приведенных выше рассуждений сразу же следует, что говоря в общем, трапецию Мюфлинга невозможно растянуть в прямоугольник Меркатора так, чтобы изменения локальных масштабов совпадали по всей площади карты (если мы растягиваем трапецию равномерно). Иными словами, при таком растяжении мы должны каким-то образом добиться "меркаторской" неравномерности (то есть, растягивать трапецию тем сильнее, чем ближе к полюсу находится растягиваемая часть), а этого невозможно добиться, используя всего лишь четыре точки (по углам трапеции).

Можно посмотреть на проблему и с другой стороны: если бы наша карта изначально была бы изображена в проекции Меркатора, то при равномерном сжатии в трапецию у нас не исчезла бы неравномерность, как минимум, по вертикали (нарастающая с юга на север для Северного полушария). Собственно, именно это и предполагает алгоритм растяжения по четырем точкам: считаем, что карта составлена уже в меркаторской проекции и лишь "подправляем" ее, убирая некоторую "общую деформацию" (здесь и далее, говоря о равномерном растяжении, мы и подразумеваем, что используем лишь 4 точки, то есть тянем трапецию "за углы". В самом конце мы коснемся вопроса использования большего количества точек). А это, как мы видим, не так. Алгоритм заранее не знает, как именно у нас устроены точки растра внутри области привязки и лишь предполагает, что они устроены в точном ожидании с внутренним устройством проекции.

Однако, как же тогда у нас получилось так, что линии сетки меркаторской проекции почти идеально совпали с широтными и долготными метками на минутной рамке карты, изображенной первоначально в проекции Мюфлинга?

Давайте попробуем разобраться.

В упомянутой не раз статье¹ приведен подробный математический расчет основных параметров трапеций Мюфлинга для карт масштаба 1:200000 и покрытием 1 градус по долготе и 40 минут по широте, поэтому здесь я подробно цитировать его не буду; заинтересованный читатель найдет исходный текст работы прямо по ссылке. Остановлюсь лишь на ключевых моментах расчета, а также на некоторых особенностях и закономерностях, которые не нашли отражения в статье, но будут полезны для дальнейшего рассмотрения. С этой целью был создан простой калькулятор в Excel, который в целом повторяет рассуждения и вычисления автора³.

Рассмотрим вначале карту двухкилометрового масштаба, расчеты по которой приведены в брошюре. Она ограничена значениями в 40°00'' - 40°40'' по широте и 35°00'' - 36°00'' по долготе. В дополнение к величинам, которые приведены в статье и обозначения которых в калькуляторе в целом совпадают с оригинальными, были добавлены значения промежуточных широт (Ф(1/4) и Ф(3/4)) по высоте листа и промежуточных долгот (L(1/4) и L(3/4)) по его ширине (например, Ф(1/4) = Ф(1) + 1/4*(Ф(2)-Ф(1)) и т.д.). Здесь сразу же отметим тот факт, что доля от общей высоты трапеции Мюфлинга на широте, равной доле от общей разницы широт равна этой второй доле. То есть, при Ф = Ф(1/2) точка на трапеции лежит на высоте равной h/2, при Ф = Ф(1/4) на высоте равной h/4 и т.д. Это прямо следует из вывода формулы (3) статьи¹ и пригодится нам в дальнейшем⁴. А из этого следует, что размер, скажем, минутного деления по вертикальной границе карты строго постоянен.

В дополнение к длинам нижней и верхней сторон трапеции (a(1) и a(2) соответственно), была введена еще величина абсолютного "схождения" s, равная разности этих длин. Сразу же обращает на себя внимание, что величина этой разности для данного конкретного примера получилась равной 837 м на местности (при общей ширине трапеции в 84-85 км). Приводя эту величину к масштабу самой карты, получаем величину около 4 мм, что отлично согласуется с данными, полученными ранее непосредственными измерениями растра на карте примерно вдвое более крупного масштаба.

Стоит также отметить крайне незначительную разницу в длинах боковой (наклонной) стороны трапеции и ее высоты (c и h). Она составляет всего лишь около 1 метра на местности для карты-двухкилометровки, и такая малость является прямым следствием малости угла наклона⁵ стороны.

Что же касается самого "угла наклона" Ψ(1) (см. Фиг.3 упомянутой статьи), то велик соблазн приравнять его половине разницы долгот боковых сторон трапеции. Однако это не так: это видно при непосредственных вычислениях в калькуляторе. Этот угол наклона возникает только в промежуточных геометрических построениях (и упрощениях) проекции. Тем не менее, сама малость этого угла и "почти равенство" его сторон c и h позволяет считать половину этого угла представляющей "четверти" L(1/4) и L(3/4) от разности между крайними долготами трапеции (L(2) - L(1)). Это, практически никак не сказываясь на точности вычислений, сильно их упрощает, что и использовано для вычисления масштабных коэффициентов в калькуляторе.

Наконец укажу, что расчетные масштабные коэффициенты, сведенные в единую таблицу, аналогичную приведенной в статье (раздельно для m - масштаба по меридиану и n - масштаба по параллели), показывают, что наименьшего своего значения они достигают ровно в середине трапеции (а это значит, что именно в середине наблюдаются наибольшие искажения реального масштаба на местности в сторону уменьшения; в дальнейшем нам этот факт тоже пригодится).

Полностью текст статьи со всеми ссылками вы можете прочитать, посетив страницу автора на Boosty.