Объединенные электронные атласы из многолистовых крупномасштабных карт XIX-XX веков. Теоретический минимум. Часть пятая.

Теперь наконец-то настало время поговорить и о конкретных проекциях (а точнее выражаясь, о конкретных проецируемых системах координат), которые нам с вами могут встретиться в дальнейшем. При этом мы пойдем, так сказать, «в обратной хронологии»: от современных систем координат к более «историческим». Такая логика оправдана вот чем. Мы начнем с проекции Меркатора, которая широко используется в современной веб-картографии, в том числе и для отображения исторических карт. Именно на ней (поскольку она, во-первых, довольно просто строится, а во-вторых, обладает довольно сильными искажениями) удобней всего демонстрировать некоторые понятия, которые мы ввели в предыдущей части, в частности, подробнее рассказать об искажениях. Кроме того, на примере этой проекции (и построенных на ней системах координат) удобнее всего ввести и некоторые новые понятия и приемы.

Как и в предыдущей части, в качестве примера для графических изображений мы с вами будем рассматривать участок земного сфероида, ограниченного по широте параллелями в 52° и 56° с.ш., а по долготе — меридианами в 30° и 36°, а в качестве карты для сравнения — все ту же карту-«миллионку» N-36. Напомню, как этот участок местности выглядит на земном глобусе при виде издалека.

Что касается используемых для построения проецируемых систем координат базовых географических систем координат, то везде, где это не оговаривается особо, мы с вами будем использовать систему координат WGS84 (или, как мы условились ее называть, EPSG:4326). При этом, по соображениям графического удобства, везде, где нам потребуется для проекции использовать такое значение ее параметра, как долгота центрального меридиана (подробнее о нем мы узнаем при описании конкретных систем координат и проекций в следующей главе), мы будем использовать долготу в 33°, то есть меридиан, проходящий ровно посередине нашего с вами исследуемого участка [1].

ПРЯМАЯ ЦИЛИНДРИЧЕСКАЯ РАВНОУГОЛЬНАЯ ПРОЕКЦИЯ (ПРОЕКЦИЯ МЕРКАТОРА) И СИСТЕМА КООРДИНАТ EPSG:3395

С общим принципом построения цилиндрических проекций мы с вами уже познакомились в предыдущей части. Коротко напомню, что он заключается в «оборачивании» сфероида по линии экватора цилиндрической поверхностью, проецировании поверхности сфероида на этот цилиндр и последующей разверткой цилиндра на плоскость. Правда, на рисунке, приведенном в этой части для простоты и наглядности было изображено проецирование «из центра сферы». Как мы с вами помним, такой способ называется «гномоническим», но у него есть довольно много недостатков. Во-первых, он дает очень уж большие искажения для полярных областей, а во-вторых такие проекции не являются ни равновеликими, ни равноугольными (то есть, не сохраняют ни величину площадей, ни величину углов). Проекция Меркатора же обладает свойством равноугольности, то есть сохраняет углы между направлениями. Как построить такую проекцию, мы совсем скоро поймем, но для этого нам придется узнать, как считаются искажения в проекциях — и не только углы или площади, а гораздо более важные сущности — расстояния или длины. Именно они определяют все остальное: искажения углов, площадей, и говоря в более общем виде — форм объектов. А пока мы с вами этого не поняли, давайте поручим построение проекции QGIS, система сама легко справится с этой задачей. В качестве базовой географической системы выберем, как уже говорилось выше, EPSG:4326. Такая проецируемая в меркаторской проекции система координат имеет обозначение EPSG:3395. Сохраним также картографическую сетку, описанную выше, так нам будет проще наблюдать за тем, что произойдет. Общий вид построенной проекции приведен на следующем рисунке.

Хорошо видно, что криволинейные трапеции первоначальной географической сетки на глобусе превратились в прямоугольники, при этом меридианы стали вертикальными прямыми линиями, а параллели — горизонтальными. Этого следовало ожидать для прямой цилиндрической проекции, если обратиться к рисунку ее построения из предыдущей части. Однако так же хорошо видно, что такие изменения неравномерны. Каждая трапеция, превращаясь в прямоугольник, в своей верхней части растягивается сильнее, чем в нижней (и тем сильнее, чем ближе она к полюсу), также при движении в сторону полюса все больше увеличиваются и высоты прямоугольников (а для сферы все высоты криволинейных трапеций равны между собой, а ширина трапеций при движении к полюсу все сильнее уменьшается, ведь меридианы сходятся в этом направлении).

Описанные искажения (растяжение в направлении «по параллели» больше в части, которая находится ближе к полюсу и нарастание растяжения «по меридиану») характерны для любого участка проецируемой местности, что хорошо видно, если мы увеличим нашу карту до размеров изучаемого листа, как на следующем рисунке.

Таким образом, совершенно очевидно, что при построении проекции вместе с изменением длин в каждом участке карты меняется и масштаб карты, который для каждого участка становится каким-то своим. Как нам описать такие изменения? Давайте для этого снова обратимся к терминологии и введем пару определений.

Как мы все хорошо знаем, каждая карта изображается в каком-то масштабе, который обычно подписывается на листе этой карты. Но ведь мы только что видели, что в описанном выше случае в каждой точке карты есть свой масштаб!

Можно условиться о следующем. Если мы с вами вначале уменьшим реальный размер земного сфероида до размеров некоторого «глобуса»-сфероида, а затем уже с этим глобусом будем строить проекции, то вот это первоначальное уменьшение размеров назовем главным масштабом. Понятно, что при таком уменьшении никаких искажений расстояний не происходит, кроме того, что любое расстояние на полученном глобусе уменьшено ровно в одинаковое количество раз по отношению к первоначальному земному сфероиду. Именно этот масштаб и указывается на картах (в виде дроби, например, «1:10000000» или в виде соотношения «в 1 см 10 км»). Из предыдущего рассмотрения мы с вами помним, что этот главный масштаб может сохраняться лишь в отдельных случаях отдельных направлений. В нашем с вами случае прямой цилиндрической проекции эта единственная линия — экватор (поскольку по этой линии цилиндр «оборачивает» сфероид и точно совпадает с ним). Во всех остальных точках изображаемой карты масштаб будет свой, назовем его частным масштабом. Удобнее всего определять его в единицах главного масштаба, то есть ввести некоторый коэффициент, на который следует умножить величину главного масштаба, чтобы получить частный. Или говоря по-другому, этот коэффициент покажет, во сколько раз изменилась (исказилась) длина в данном участке по отношению к возможной линии или точке, где масштаб не изменился.

Ранее я обещал, что в этой части не будет сложных математических формул. Их и не будет, однако несколько общепринятых букв-обозначений мы здесь введем. Их всего четыре: m, n, a и b. Это будет сделано лишь только для краткости дальнейшего изложения. Итак, назовем описанный выше масштабный коэффициент для линии меридиана масштабом по меридиану и обозначим буквой m. То же сделаем и для масштаба по параллели и обозначим буквой n [2]. В общем виде m и n могут быть сложными функциями как широты, так и долготы и в курсах математической картографии формулы для них обязательно выводятся. Однако в нашем рассмотрении они не понадобятся, мы сосредоточимся лишь на их качественном описании и на указании их важнейших свойств.

Если мы еще раз посмотрим на общий вид карты в меркаторской проекции, где изображена вся сетка целиком, то легко догадаться, что величина m увеличивается при движении вдоль любого меридиана к полюсу. Но точно так же увеличивается и величина n — ведь длины параллелей на глобусе становятся все короче при движении к полюсу, а в изображенной проекции они все одинаковы.

Так вот, оказывается, что для того, чтобы проекция была равноугольной, должно выполняться элементарно простое условие: m = n в любой точке изображаемой карты. Или, что то же самое, m/n = 1. Далее поступают так: в формулы для m и n, написанные в общем виде для цилиндрической проекции, добавляют это условие и решая полученные уравнения, получают уже конечные уравнения для проекции Меркатора. Таким образом, проекция Меркатора — хороший пример проекции, заданной аналитическим путем. Несмотря на то, что вспомогательная поверхность наглядно представима, сам способ проецирования довольно трудно представить, однако задачу легко можно выразить аналитически, формулами.

Как уже говорилось раньше, равноугольность проекции предполагает хорошее сохранение формы достаточно малых объектов. Давайте посмотрим, как это выглядит на деле. На двух рисунках ниже показаны относительно небольшие фрагменты местности. Первый рисунок — это вид «на глобусе», если на местность смотреть строго сверху. А на втором в том же самом масштабе изображен тот же участок, но в проекции Меркатора. Видно, что изображения практически идентичны. При этом практически полностью сохраняется форма небольших объектов (на растровых картах таким индикатором могут служить надписи, искажение формы которых хорошо заметно).

Однако все меняется, как только мы переходим к изображению обширных участков. Условие равноугольности (m = n) ничего не говорит нам о том, как меняются величины m и n на всей области охваченного картой пространства. Все что мы пока знаем — это то, что точно на линии экватора они равны единице. Кроме того, мы с вами еще не поняли, как искажения длин зависят от направления (ведь пока что мы рассмотрели только направления по параллелям и меридианам).

На помощь здесь приходят так называемые эллипсы искажений (их еще называют индикатрисами Тиссо [3]). Идея их заключается в следующем: представим себе на сфере или сфероиде достаточно малую окружность, которую можно спроецировать на касающуюся плоскость, или какую-то другую касающуюся поверхность без искажений [4]. Оказывается, что при проецировании этой окружности на любую другую плоскость в общем виде окружность преобразуется в эллипс, форма которого (в свою очередь, определяющаяся длиной его полуосей) вообще говоря будет разной для разных точек этой плоскости. Разной будет также ориентация этого эллипса на плоскости (то есть, направление его большой полуоси). Если теперь мы припишем нашей малой окружности условный «единичный радиус», то величины большой полуоси a и малой полуоси b эллипса в этих же единицах зададут нам искажения длин по двум взаимно перпендикулярным направлениям на плоскости, которые называются главными. При этом величина a задает наибольший масштаб в выбранной точке в направлении большой полуоси эллипса. А наименьший масштаб в этой же точке получается в направлении перпендикулярном первому (в направлении малой полуоси эллипса) и численно равен величине b.

Построив такие эллипсы для многих точек поверхности проекции, можно получить карту таких искажений для всей поверхности проекции. Следует сразу сказать, что нет необходимости строить «бесконечно малые» окружности или эллипсы, для наглядности они могут быть совершенно произвольного размера. Важно помнить только, что размер и форма такой окружности или эллипса отражает величины искажений не по всей поверхности, ими покрываемой, а только лишь в центре фигуры (окружности или эллипса).

Давайте теперь посмотрим на то, как выглядят эллипсы искажений в обсуждаемой проекции Меркатора. Для этого построим их на диапазоне сетки, выбранном нами ранее [5], через каждые 20° по широте и 30° по долготе [6].

Это с первого взгляда кажется удивительным, но мы с вами не видим никаких «эллипсов». На всей области покрытия исходные окружности остались окружностями, правда, их радиус возрастает при движении к полюсу. Однако все так и должно быть, и это — характерное свойство равноугольной проекции. Ведь, как мы с вами помним, в любой точке в такой проекции m = n, то есть масштаб по меридиану всегда равен масштабу по параллели. А значит, размер любого предполагаемого «эллипса» «по горизонтали» всегда в точности равен размеру «по вертикали». А это возможно только лишь, если полуоси предполагаемого «эллипса» равны, то есть для окружности.

Итак, самое главное искажение проекции Меркатора заключается в том, что линейные размеры отображаемых ею фигур возрастают при движении от экватора к полюсу, причем совершенно одинаково в любом выбранном направлении. Именно поэтому проекция сильно искажает не только размеры, но и формы протяженных объектов, например, материков, ведь каждый такой объект «растянут» в зависимости от широты области по-разному. В то же время, стоит повторить, что формы малых объектов проекция сохраняет хорошо, и это одна из причин того, что наряду со сходными с ней проекциями она нашла широкое применение в современном использовании крупномасштабных карт, ведь обычно такие карты используются как раз для исследования небольших участков местности в большом «увеличении».

Другие важные особенности меркаторской проекции (и системы координат EPSG:3395) в приложении к исследуемой нами теме (электронные атласы из крупномасштабных исторических карт) имеет смысл рассмотреть чуть позже, вместе с системой координат EPSG:3857, там полнее раскроются достоинства и недостатки обеих систем. Сейчас же, раз уж мы повели разговор о размерах (длинах, расстояниях) стоит сказать несколько слов о координатной (декартовой) сетке проекции.

В самом внешнем виде такой сетки нет ничего необычного, такой вид сходен для всех проекций, поэтому приведу ее только лишь для проекции Меркатора (и системы координат EPSG:3395), а также и в следующем параграфе для сравнения, а в дальнейшем приводить не буду. На рисунке ниже координатная сетка проведена с шагом, соответствующим 4° дуги экватора с тем, чтобы индикатрисы на экваторе (где, как мы помним, нет искажений) совпадали с шагом сетки.

Но следует обязательно понимать ряд свойств такого рода сеток. Такое понимание нам понадобится во всех дальнейших обсуждениях.

Первое. Любая координатная (декартова) сетка имеет смысл только для конкретной проекции и для конкретной системы координат, в которой она построена. Система координат определяет начальную точку, от которой строятся линейные координаты, а проекция — величины искажений, которые мы с вами обсудили выше. При этом те величины линейных координат, а значит, и расстояний, которые мы измеряем по координатной сетке, в полной мере содержат в себе величины искажений и ими же определяются (парами m и n или a и b). Из сказанного следует второе — для разных проекций (и систем координат) координатные сетки отличаются: даже если они построены в одних и тех же единицах и с одним и тем же шагом, их никак нельзя совместить на плоскости более, чем на одной линии или даже точке.

Наконец, из второго следует важный вывод о так называемых эквидистантных сетках, которые мы затрагивали во Введении и в предыдущей части. Поскольку по сути своей «эквидистантные сетки» представляют собой особым образом организованные координатные сетки (для этого достаточно, чтобы одна из сторон такой сетки была параллельна одной из сторон сетки координатной [7]) и фактически представляют собой нарезку общего покрытия многолистовой карты на отдельные листы, то и имеют смысл они только для «родных» проекции и системы координат, в которых составлена карта. Для всех прочих, «чужих» для исходной карты проекций и СК, эквидистантную сетку с координатной без тех или иных искажений совместить нельзя.

ПРЯМАЯ ЦИЛИНДРИЧЕСКАЯ ПРОИЗВОЛЬНАЯ ПРОЕКЦИЯ («WEB MERCATOR», «ПСЕВДО-МЕРКАТОР») И СИСТЕМА КООРДИНАТ EPSG:3857

Описанные в предыдущем параграфе свойства меркаторской проекции, в частности равноугольность, неплохо подходят для отображения, особенно в электронном виде небольших фрагментов крупномасштабных карт. Как мы видели, на крупных масштабах искажения формы в такой проекции практически незаметны. Следствием этих свойств является широкое использование проекции для навигации, в том числе в картах для разнообразных электронных устройств. Кроме того, сам вид картографической сетки с линиями параллелей и меридианов в виде перпендикулярных прямых позволяет осуществлять довольно простую «нарезку» исходных карт на фрагменты, что в свою очередь облегчает чтение карт этими электронными устройствами, так как каждый раз такому устройству достаточно читать не всю карту целиком, а лишь тот фрагмент или фрагменты, которые требуются для отображения на экране. Описанный принцип лежит в основе электронных карт, созданных в форматах так называемых «тайлов» [8]. Немного подробнее на таких структурах я остановлюсь немного ниже в этом параграфе, а пока давайте обсудим основной недостаток проекции Меркатора.

Несмотря на то, что формулы проекции Меркатора для сфероида не очень сложны, они все же немного сложнее, чем формулы для сферы. А самое главное то, что помимо некоторых тригонометрических и логарифмических вычислений, что современные компьютеры считают довольно просто, они содержат достаточно «неприятный» для вычислений член, суть которого сводится к возведению в дробную степень результатов этих промежуточных тригонометрических операций [9]. А при масссовых вычислениях такая дополнительная нагрузка очень неудобна, особенно это было заметно на самых ранних этапах становления электронных карт, в те времена, когда компьютеры были намного более слабыми, чем сегодняшние. Первой нашла выход из положения корпорация Google при разработке своего сервиса. Нельзя сказать, что он получился идеальным, но тем не менее он стал стандартом для многих других сервисов, которые последовали за ними. Суть его заключается в следующем.

В математической картографии хорошо известны способы отображения поверхности эллипсоида (сфероида) на сферу [10]. Их довольно много, здесь мы их разбирать не будем, скажу лишь, что все они, как этого и следует ожидать, обладают теми или иными искажениями [11]. Впрочем, существует и способ, позволяющий сохранить строгую равноугольность такой проекции, и вот его следует обязательно упомянуть. Он называется «способом Мольвейде», на математической стороне которого мы тоже останавливаться не будем, посмотрим лишь на его качественное описание. Заключается он в том, что вокруг сфероида описывают сферу с радиусом, равным большой полуоси сфероида, а значит, и совпадающей по экватору со сфероидом. Далее проецируют точки сфероида на поверхность сферы по определенным законам. Долготы для любой точки на такой сфере будут равны исходным долготам на сфероиде по понятной причине, а вот значения широт изменятся [12]. Зато полностью сохраняются углы между направлениями (равноугольность), и легко понять, что проецируя полученные точки уже со сферы на цилиндр по описанному выше способу Меркатора, мы бы в результате двух последовательных преобразований, сохраняющих углы, в итоге получили бы также равноугольную проекцию.

Но тут есть одно «но». Те «определенные законы», которые я упомянул выше, хотя и математически не очень сложны, однако тоже содержат в себе некоторые тригонометрические вычисления. Таким образом, упрощая вычисления на стадии построения меркаторской проекции (проецируя на цилиндр не сфероид, а сферу), мы добавляем вычисления широт на стадии проецирования сфероида на сферу. В этой ситуации разработчики Google пошли по самому простому пути, впрочем, тоже давно известному в математической картографии. Суть его можно описать так: «каждая точка сфероида с определенной долготой и широтой отображается на сфере точкой с теми же самыми долготой и широтой». А в качестве сферы взяли ту же «описанную вокруг сфероида WGS84», что и в способе Мольвейде. Таким образом получилось избежать добавочных промежуточных вычислений при пересчете широт, но за счет потери точной равноугольности.

Впрочем, такие потери нельзя назвать значимыми. Если мы с вами снова посмотрим на общий вид проекции с наложенной географической сеткой и индикатрисами, как в предыдущем параграфе, то никаких видимых отличий мы не увидим: географическая сетка выглядит точно так же, да и индикатрисы по-прежнему выглядят окружностями.

Некоторые отличия мы сможем увидеть лишь наложив координатную (декартову) сетку и при значительном увеличении. На рисунке ниже красными линиями обозначены линии картографической сетки, а зелеными — линии координатной сетки проекции для системы координат EPSG:3395 из предыдущего параграфа.

А на следующем рисунке построены те же сетки и с тем же шагом, но для системы координат EPSG:3857. Из этого рисунка видно, что смещения вертикальных линий координатной сетки не происходит, а вот горизонтальные — смещаются. Это говорит о том, что масштаб по меридиану (величина m) для этой системы координат немного уменьшается относительно «чисто меркаторской», а масштаб по параллели — остается таким же. Это и есть нарушение равноугольности.

Заодно таким наглядным способом мы продемонстрировали то, о чем говорилось выше: координатные сетки разных систем координат с разными проекциями являются различными и полностью никогда не могут быть совмещены, поскольку в них различаются масштабы по параллелям и меридианам (n и m) и масштабы по главным направлениям (a и b).

Однако стоит повторить: это видимое смещение линии сетки (примерно в полтора десятка километров) «набежало» на всем расстоянии рассматриваемого нами участка от экватора, оттуда, где находится начало отсчета. На типичных для крупномасштабных карт расстояниях речь идет о разнице между двумя проекциями примерно в «метры на километры», что хорошо видно на еще одном рисунке ниже, на котором показан тот же фрагмент местности, что и в предыдущем параграфе. Из рисунка видно, что он практически полностью идентичен приведенным ранее.

Так что, пока у вас не возникла необходимость в прокладке линии постоянного курса, причем именно в виде строго прямой линии, как в системе координат EPSG:3395, и к тому же на расстоянии в сотни и тысячи километров, такими отклонениями от равноугольности можно вполне пренебречь. Зато этот небольшой недостаток системы вполне компенсируется еще одним ее свойством.

Это свойство заключается вот в чем. Разработчики специально ограничили область действия (охват) системы координат EPSG:3857 с севера и юга величинами ± 85.0511° широты. Тогда расчет по формулам сферической меркаторской проекции приводит к тому, что вся поверхность Земли изображается в виде правильного квадрата со стороной в 40075016.68 м, равной длине экватора сфероида WGS84.

А дальше поступают так. Изобразим полученный квадрат в виде растра размером, например, в 256 на 256 пикселей [13]. Размер стороны такого квадрата равен 40075016.68 м, а значит разрешение составляет 156543.03 м/пикс. Теперь увеличим разрешение ровно вдвое, оставив размер отображаемой поверхности неизменным (при этом мы сможем отобразить больше деталей земной поверхности, ведь разрешение станет равным 78271.52 м/пикс) и разрежем исходный квадрат на 4 равные, тоже квадратные части. Полученные новые 4 квадрата имеют размер в пикселях тот же, что и исходный квадрат (256x256), удвоенное разрешение, а сторона отображаемой земной поверхности в каждом теперь равна 20037508.34 м. Далее повторим ту же процедуру с каждым из 4 полученных на предыдущем шаге квадратов, получив теперь уже 16 квадратов с еще раз увеличенным вдвое разрешением (39135.76 м/пикс). Повторяя эту процедуру раз за разом мы получим набор слоев (их еще называют «зумами», то есть уровнями увеличения), где каждый последующий имеет вдвое большее разрешение относительно предыдущего, и в каждом из которых содержится 2^(2n) квадратных изображений одного и того же размера в пикселях (256x256). Их и называют тайлами, а степень двойки n при этом меняется от 0 для самого мелкого, «нулевого зума».

Теперь эти слои можно разложить по отдельным папкам, а можно объединить в один файл, определенным образом перенумеровав [14]. Способы нумерации отдельных тайлов (или папок, в которые они разложены) различны для разных реализаций такого метода, однако общим является то, что сам способ нумерации однозначно определяет географические координаты тайла. Поэтому нет никакой необходимости отдельно указывать географическую привязку каждого тайла [15].

Но основным преимуществом тайлов является то, что мы уже с вами обсуждали в самой первой главе теоретической части. «Послойный» способ хранения вариантов одной карты с разным разрешением является ничем иным, как одним из способов реализации общей идеи «пирамид». А сама эта идея, как мы видели, очень сильно облегчает чтение различными программами, мобильными приложениями или онлайн-просмотрщиками тяжелых (объемных) карт, ведь при таком способе каждый раз запрашиваются только необходимые для текущего просмотра фрагменты.

Так что система координат EPSG:3857 из-за простоты построения, относительно небольших искажений и удобства ее использования в специфических растровых форматах по праву занимает ведущее место в современной веб-картографии.

ГЕОГРАФИЧЕСКИЕ СИСТЕМЫ КООРДИНАТ EPSG:4326 И EPSG:4284 (PULKOVO 1942) И ИХ ИЗОБРАЖЕНИЕ НА ПЛОСКОСТИ. «ПСЕВДОПРОЕКЦИИ»

В заключение этой главы коснемся еще одного небольшого вопроса, который, тем не менее, довольно важен, как пример для понимания искажений проекций.

Дело тут вот в чем. Несмотря на то, что как мы видели раньше, географические системы координат предназначены для использования их в качестве базовых для построения проецируемой системы координат или же для отображения на трехмерных сфероиде (или сфере), иногда [16] их используют и для построения двумерной картины на плоскости, тем более, что средства обычных ГИС это никак не запрещают. При этом используют очень простой прием: все величины в градусной мере (широты и долготы) изображают равными им по величине линейными отрезками. При таком подходе полностью игнорируется то, что угловые величины на сфероиде, выраженные в линейной мере (как длины дуг окружностей, стягивающих эти углы), для широт и долгот всегда различны из-за того что расстояние между меридианами всегда уменьшается при движении от экватора к полюсам (и даже на экваторе они не полностью равны из-за «эллипсоидальности» земной поверхности). Такой способ дает «квадратную» картографическую сетку, при этом следует помнить, что единицами измерения на ней являются не линейные величины (метры или километры), а градусы (или минуты, или даже секунды) [17]. Поскольку используются не линейные меры, а угловые, то и настоящей проекцией такое построение назвать нельзя, скорее речь идет о некоторой «псевдопроекции» [18].

Давайте теперь посмотрим, что произойдет, если мы отобразим в виде такой «псевдопроекции» используемую нами карту. Общий вид такого отображения вместе с картографической сеткой и индикатрисами приведен на рисунке ниже, где показана система координат EPSG:4326.

Теперь эллипсы искажений действительно стали настоящими, видимыми эллипсами, и чем ближе к полюсу, тем более сжатыми они являются. Сильнее исказится изображение и на более крупном масштабе, что хорошо видно на следующем рисунке, на котором изображение исходной карты сжато в вертикальном направлении в полном согласии с поведением эллипсов искажений.

Но даже на очень крупных масштабах, там, где раньше мы наблюдали проявление конформности (сохранения малых форм), мы все равно будем иметь искажения и это хорошо заметно по искажению надписей на том же увеличенном фрагменте карты, что и ранее.

В целом, вывод из сказанного прост: географические системы координат не подходят для отображения на плоскости любых, даже самых малых участков местности. Для более достоверного изображения и предназначены проекции и проецируемые системы. А географическая система координат может быть использована лишь как вспомогательная при изображении местности на плоскости.

Кстати, в следующей главе мы с вами столкнемся еще с одной географической системой координат. Она носит кодовое обозначение EPSG:4284 и отличается от только что нами рассмотренной EPSG:4326 только тем, что в ней используется датум «Pulkovo 1942», основанный не на сфероиде WGS84, а на сфероиде Красовского (со слегка отличающимися величинами его полуосей). Что же касается «внешнего вида» этой системы координат, если ее отобразить, как псевдопроекцию, то на тех масштабах, которые я использую для иллюстраций, никаких отличий мы с вами обнаружить не сможем.

Для полноты описываемой картины (но не для какого-либо использования в будущем) остается добавить, что существует и «настоящая» система координат, которая выглядит точно так же, как описываемые выше «псевдопроекции», но как любая настоящая проекция имеет свою координатную сетку в линейных единицах (метрах). Она носит кодовое название EPSG:4087 и использует прямую цилиндрическую равнопромежуточную проекцию (она же «проекция Plate Carrée» и известна эта проекция со времен Птолемея). Равнопромежуточная [19] же проекция потому, что она сохраняет масштаб по экватору и по каждому меридиану, но как мы видели на иллюстрациях выше, не сохраняет ни углов, ни площадей, что приводит к описанным выше сильнейшим искажениям.

А теперь, когда мы с вами на простых примерах поняли, что такое искажения в проекциях и проецируемых системах координат, почему они возникают и как оцениваются, можно перейти к более близким к дальнейшему обсуждению вещам и обсудить самые распространенные проекции, которые использовались на протяжении XIX-XX веков для создания крупномасштабных карт. Об этом — в следующей части.

Литература и примечания

Причина здесь очень простая: при такой величине долготы центрального меридиана лист нашей «подопытной» карты всегда будет ориентирован строго вертикально и его не придется «доворачивать» средствами ГИС.
Мнемоническое правило для запоминания тут простое: m — как русское «м» в слове «меридиан», а n — как русское «п» в слове «параллель».
Для индикатрис в дореволюционной литературе часто встречается другое хорошее название: «указательница» (см. напр. Витковский В.В. Картография (теория картографических проекций), СПб, 1907, с. 13). Для тех, кто хочет подробно изучить математическую сторону вопроса, можно порекомендовать разбор в следующей книге: Бугаевский Л.М. Математическая картография, М., 1998, с. 33, 49.
Или почти без искажений. Обычно говорят о «бесконечно малой окружности», но можно представить окружность такого малого радиуса, чтобы искажения были меньше «наперед заданной величины».
Напомню, что в предыдущей части мы выбрали в качестве границ нашей карты всю восточную половину северного полушария.
В базовом варианте QGIS инструмента для построения эллипсов искажений нет. Но есть отдельный удобный модуль, которым после установки мы с вами и воспользуемся. Он называется Indicatrix mapper и позволяет гибко настраивать параметры и внешний вид индикатрис. В качестве базового размера (радиуса исходной окружности) выберем 445 км, что соответствует 4° дуги экватора (для сфероида WGS84); как мы с вами помним — линия экватора в проекции Меркатора не искажает длин.
Вторая сторона необходимо будет параллельна второй стороне координатной сетки, так как обе сетки прямоугольные.
Коротко упомянуть тайлы мне показалось уместнее здесь, а не в посвященной растровым форматам части, поскольку меркаторская проекция и «псевдомеркатор» имеют к этому самое непосредственное отношение.
Для тех, кто любит подробности: эта степень непосредственно связана с эксцентриситетом сфероида, величиной, связанной со сжатием, который, как и сжатие, является дробной величиной, для сферы эксцентриситет равен нулю, так что этот дополнительный член превращается в единицу и формулы для сферы поэтому и упрощаются.
В предыдущей части я не стал останавливаться еще и на этих способах проецирования, ограничившись проецированием на плоскость и поверхности цилиндра и конуса, чтобы не перегружать изложение. А тут — вполне уместно коротко рассказать и об этом.
Еще раз вспомним, что гауссова кривизна сферы — величина постоянная, а гауссова кривизна сфероида — переменная. Отсюда и неизбежные искажения.
Долготы не меняются, потому что центры сферы и сфероида совпадают, совпадают также линии экватора и полярные оси. Тем, кому интересно больше подробностей с некоторой математикой, можно порекомендовать неоднократно уже цитированный учебник: Серапинас Б.Б. Математическая картография, М., 2005, с. 12.
Чаще всего для таких растров используют формат JPG или PNG, а в последнее время — и более «продвинутые» форматы, такие, как например, WEBP. Размеры такого растра также не обязаны быть равными 256x256 пикселей, к примеру, компания Mapbox использует размер в 512x512 пикселей, что хорошо подходит для устройств с повышенным разрешением экрана. Однако размер 256x256 наиболее часто используется.
Можно даже использовать для хранения таких тайлов специальные форматы в виде баз данных, как это реализовано в широко применяемых форматах .mbtiles и .sqlitedb. Их преимуществом является иная, более быстрая организация доступа к конкретному тайлу на уровне базы данных, а не способом простого файлового доступа. Кроме того, и простые файловые операции с такими наборами (например, копирование) происходят намного быстрее, чем с большим (часто огромным) количеством отдельных мелких тайлов.
Строго говоря, описанная выше реализация тайловой структуры возможна не только для системы координат EPSG:3857, но и для других, в том числе и для системы EPSG:3395 (использующей «честный Меркатор»). По этому пути, в свое время, пошел сервис Яндекс.Карты. Однако система EPSG:3857 получила все же большее распространение, по-видимому, из-за большей простоты, что не могло не сказаться на ее совместимости с самыми различными сервисами.
А для векторных объектов и довольно часто, поскольку EPSG:4326 чаще всего используется в качестве системы координат «по умолчанию» для таких объектов.
В нашем примере картографическая сетка не будет квадратной только по одной причине: как вы помните, мы с самого начала выбрали неодинаковый шаг сетки по параллелям и по меридианам.
Как мы с вами помним из третьей части теоретического обсуждения, в общем виде под проекцией понимают математическую (формульную) связь географических и плоских прямоугольных (декартовых) координат. А в таком представлении декартовых координат нет совсем.
В английском варианте равнопромежуточные проекции называют эквидистантными (equidistant). Это не значит, что они сохраняют все расстояния, но определенные расстояния — да.